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第九章 曲线积分与曲面积分
curvillnear integral and surface integral

1/19

第一节

对弧长的曲线积分
arc length

问题的提出
对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算

几何意义

第九章 曲线积分与曲面积分

2/19

对弧长的曲线积分

一、问题的提出
实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 M ? ? ? s 分割 M1 , M 2 ,?, M n?1
O
A

B
y

L
(? i ,? i ) M ? i
M1 M 2

M n?1

M i ?1

? si

取近似 取 (? i ,?i ) ? ?si , ?M i ? ? (? i ,?i ) ? ?si

x

求和

M ? ? ? (? i ,?i ) ? ?si
i ?1 n

n

近似值
精确值
3/19

取极限 M ? lim ? ? (? i ,?i ) ? ?si
? ?0
i ?1

对弧长的曲线积分

二、对弧长的曲线积分的概念
设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列
M1 , M 2 ,?, M n?1

1.定义

把L分成n个小段. 设第i个小段的
y

长度为 ?si ,又(? i ,?i )为 第i个小段上任意取定的 ②作乘积 f (? i ,?i ) ? ?si , 一点, ③ 并作和 ? f (? i ,?i ) ? ?si ,
i ?1 n

(? i ,? i ) M ? i
O
A
M1 M 2

L

B
M n?1

M i ?1

? si

④ 如果当各小弧段的长度的最大值 ? ? 0时,

x
4/19

对弧长的曲线积分

f (? i ,?i ) ? ?si ? i ?1

n

这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 记作 第一类曲线积分. 被积函数

?L f ( x , y )ds, 即
n

f (? i ,?i ) ? ?si ? ?L f ( x , y )ds ? lim ? ?0 i ?1
积分弧段
弧元素
L

积分和式

曲线形构件的质量 M ? ? ? ( x , y )ds
5/19

对弧长的曲线积分

2. 存在条件

当 f ( x , y )在光滑曲线弧L上 连续,
对弧长的曲线积分
3. 推广

?L f ( x , y )ds 存在.

函数 f ( x , y, z )在空间曲线弧 ?上 对弧长的曲线积分为

??

f ( x , y , z )ds ? lim ? f (? i ,?i ,? i ) ? ?si
? ?0
i ?1

n

6/19

对弧长的曲线积分

注意
(1) 若 L (或 ? )是分段光滑的, ( L ? L1 ? L2 )

?L ? L
1

2

f ( x , y )ds ?? f ( x , y )ds ? ? f ( x , y )ds
L1 L2

(对路径具有可加性)

( 2) 函数f ( x, y )在 闭曲线L上对弧长的曲线积分
记作

?L f ( x, y )ds
7/19

对弧长的曲线积分

4. 性质 (1)

?L[ f ( x, y ) ? g( x, y )]ds ? ? f ( x , y )ds ? ? g( x , y )ds L L

(2)

?L kf ( x, y )ds ? k ?L f ( x, y )ds (k为常数)
?L ⌒ f ( x, y )ds ? ?
( AB )
L (⌒ BA)

(3) 与积分路径的方向无关, 即
f ( x , y )ds

8/19

对弧长的曲线积分

补充 运用对称性简化对弧长的曲线积分 在分析问题和算题时常用的 对称性质
计算时 , 应同时考虑被积函数 f ( x , y )与积 )的 设函数 f ( x , y ) 在一条光滑(或分段光滑 分曲线 L的对称性 曲线 L上连续 , L关于.y轴(或x轴) 对称, 则

?L f ( x, y )ds
当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的奇函数 0 , ? ?? ?2 f ( x , y )ds, 当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的偶函数

?L

1

L1是曲线L落在y (或x)轴一侧的部分.

9/19

对弧长的曲线积分

例 计算 ?L ( x ? y )ds . 其中L是圆周 x 2 ? y 2 ? R2 .
3

解 对称性,得

y

x 2 ? y 2 ? R2

?L

( x ? y 3 )ds ? ? xds ? ? y 3ds ? 0
L L
L

O

x

对 ? xds, 因积分曲线L关于 y轴对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 ? xds ? 0

对 ? y 3ds , 因积分曲线L关于 x轴对称, L

?L

被积函数 y 3是L上 关于y的奇函数 ? ? y 3ds ? 0 L
10/19

对弧长的曲线积分

三、对弧长曲线积分的计算

解法 化为参变量的定积分计算

定理 设 f ( x , y )在曲线弧L上 有定义且连续,

? x ? ? (t ) L的参数方程为 (? ? t ? ? ),其中 ? ? y ? ? (t ) ? ( t ),? ( t )在[? , ? ]上 具有一阶连续导数, 且

?L

f ( x , y )ds ? ? f [ ? ( t ), ? ( t ) ] ? ?2 (t ) ?? ?2 (t )dt
?

?

注意

对弧长的曲线积分要求 ds ? 0

(? ? ? )

定积分的下限 ? 一定要小于上限 ?
11/19

对弧长的曲线积分

特殊情形 (1) L : y ? ? ( x ), a ? x ? b

?L f ( x, y )ds ? ?
?L f ( x, y )ds ? ?

b

a

2 ? f [ x ,? ( x )] 1 ? ? ( x )dx ( a ? b )

ds ? 1 ? ? ? 2 ( x )dx
(2) L : x ? ? ( y ),
d c

c? y?d f [? ( y ), y ] 1 ? ? ? 2 ( y )dy (c ? d )

ds ? 1 ? ? ? 2 ( y )dy

12/19

对弧长的曲线积分

特殊情形 (3) L : ? ? ? (? ), ? ? ? ? ?

? ? f [ ? (? ) cos ? , ? (? ) sin ? ] ? 2 (? ) ? ? ? 2 (? )d?
?

?L f ( x , y )ds
?

推广 ? : x ? ? ( t ), y ? ? ( t ), z ? ? ( t ) (? ? t ? ? )

? ? f [? ( t ),? ( t ), ? ( t )] ? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t )dt ? (? ? ? )
13/19

??

f ( x , y , z )ds

?

对弧长的曲线积分

如果积分路径L是两个曲面的交线
?? 1 ( x , y, z ) ? 0 ? z ? f ( x, y ) 或 ? ? ? z ? g( x , y ) ?? 2 ( x, y, z ) ? 0
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.

14/19

对弧长的曲线积分

例 求I ? ? yds , 其中L为y 2 ? 2 x上自原点到
L

( 2,2)的一段 .
2

对x积分?
2

y (0 ? y ? 2) 解 y ? 2x ? x ? 2 2 1 2 I ? ? y 1 ? y dy ? (5 5 ? 1) 0 3
?

y

y2 ? 2x

? ( 2,2)

O

x

例 求I ? ? xyzds , 其中? : x ? a cos? , y ? a sin? ,

z ? k? 的一段 . (0 ? ? ? 2? )
解 I?

?

2?

0

a cos? sin? ?k? a 2 ? k 2 d?
2

1 2 2 2 ? ? ?ka a ? k 2

15/19

对弧长的曲线积分

例 计算 | y | ds, 其中 L是右半圆周 , 即
L

?

⌒ 解 由曲线 L(半圆周 ABC如图 )的 方程x 2 ? y 2 ? R2 , 得
ds ? 1 ? y ? 2 dx ?

x ? y ? R ( x ? 0).
2 2 2

y
A

L
B x

O
C

R x2 ? y2 dx dx ? 2 | y| y

?L
??
R 0

| y | ds ? ?AB ⌒ | y | d s ? ? ⌒ | y | ds BC
R R R | y | dx ? ? | y | d x ? 2 R 2 0 | y| | y|

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对弧长的曲线积分

计算 ? | y | ds, 其中L是右半圆周 ,即 L 2 2 2 x ? y ? R ( x ? 0). 解此题时也可用 对称性质 y

L关于x轴对称, | y | 为y的偶函数,


A

L
B x

?L | y | ds ? 2 ?⌒ yds
AB

O
C

? 2?

R

0

R y ? dx y

? 2R2

17/19

对弧长的曲线积分

计算 ? e
L

x2 ? y2

ds, L :由圆周x 2 ? y 2 ? a 2 ,

直线y ? x及x轴在第一象限中所围图形的边界.
提示

?L

e

x2 ? y2

ds ?

? OA
x

?

? ⌒ AB

?

? BO

y
B

2 y ? 0 , 0 ? x ? a , d s ? 1 ? 0 dx O 解 OA :

A

x

?OA e

x2 ? y2

ds ? ?

a

0

a e e dx ? ? 1

⌒ x ? a cos? , y ? a sin ? , 0 ? ? ? ? AB : 4 ? ? a x2 ? y2 a 4 ds ? ? e ad? ? ae ?AB ⌒ e 0 4
18/19

对弧长的曲线积分

2 y ? x , 0? x? a. BO : 2 ds ? 1 ? 12 dx

y
B

?BO e
故? e
L

x ?y

2

2

ds ? ?

2 a 2

0

e
a

2x

2dx ? e ? 1
a

O

A

x

x2 ? y2

ds ? 2(e ? 1) ?

?
4

aea

19/19

对弧长的曲线积分

四、几何意义
几何意义 (1) 当 f ( x , y ) ? 1时, L 弧长 ?

?L ds
L

z ? f ( x, y)

(2) 当 f ( x , y )表示立于L上的

柱面在点( x , y )处的高时,

s

S柱面面积 ? ? f ( x , y )ds
L

20/19

对弧长的曲线积分

例 求I ? ? x 2ds ,
?

? x2 ? y2 ? z2 ? a2 , 其中?为圆周? ? x ? y ? z ? 0. 解 由于 ? 的方程中的x, y, z的地位完全对称, 有
1 2 2 2 ( x ? y ? z )ds I ? ?? 3 2 a 2?a 3 ? ? ds ? 3 ? 3
?

??

x 2d s ? ? y 2 d s ? ? z 2d s
? ?

( 2?a ? ? ds , 球面大圆周长 )
21/19

对弧长的曲线积分

1988年研究生考题,填空(3分) x2 y2 设L为 椭 圆 ? ? 1, 其 周 长 为 a, 则 4 3

2 2 ( 2 xy ? 3 x ? 4 y )ds ? 12a ?L

解 对 称 性

1 2 2 ? 12 ? ( 3 x ? 4 y )ds ? ?L 12 x2 y2 ? 12? ( ? )ds ? 12? 1 ds ? 12a L L 4 3
22/19

?L (2 xy ? 3 x ? 4 y )ds ? ? 2 xyds ? ? (3 x ? 4 y )ds ?0
2 2
2 2

L

L

0

对弧长的曲线积分

五、小结
对弧长曲线积分的概念
(四步:分割、取近似、求和、取极限) 对弧长曲线积分的计算公式 (弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式) 对弧长曲线积分的应用

(曲线的质量、质心、转动惯量)

23/19

对弧长的曲线积分

思考题 是非题
对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为 定积分计算时,不管起点还是终点,其下限为较 小端点的参数值,上限为较大端点的参数值. 是

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